2021年教师资格证考试历年真题:初中数学试讲

来源:招教网时间:2021-10-22责任编辑:diyuping
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《勾股定理的逆定理》

内容:

命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。

我们看到,命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反。我们把像这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。例如,如果把命题1当成原命题,那么命题2是命题1的逆命题。上节已证明命题1正确,能证明命题2正确吗?

在图17.2-2(1)中,已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a²+b²=c²,要证△ABC一定是直角三角形。我们可以先画一个两条直角边长分别为a,b的直角三角形,如果△ABC与这个直角三角形全等,那么△ABC就是一个直角三角形。

如图17.2-2(2),画一个Rt△A'B'C',使B'C'=a,A'C'=b,∠C'=90°。根据勾股定理,A'B'²=B'C'²+A'C'²=a²+b²=c²,得A'B'=c。在△ABC和△A'B'C'中,BC=a=B'C',AC=b=A'C',AB=c=A'B',所以△ABC≌△A'B'C'。因此∠C=∠C'=90°,即△ABC是直角三角形。

这样我们证明了勾股定理的逆命题是正确的,它也是一个定理。我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。它是判定直角三角形的一个依据。

一般地,原命题成立时,它的逆命题可能成立,也可能不成立。如本章中的命题1成立,它的逆命题命题2也成立;命题“对顶角相等”成立,而它的逆命题“如果两个角相等,那么这两个角是对顶角”却不成立。

基本要求:

(1)有合适的板书;

(2)引导学生猜想、证明勾股定理的逆定理;

(3)教学中注意条理清晰,重点突出;

(4)请在10分钟内完成试讲内容。

答辩题目:

1.谈一谈勾股定理在初中教材中的地位。

2.教学过程中你主要设置了哪些问题?目的是什么?

试讲答案:

各位考官:大家好,我是初中数学组的XX号考生,今天我试讲的题目是《勾股定理的逆定理》,下面开始我的试讲。

一、复习旧知,导入新课

师:上一节课我们学习了勾股定理,请同学们回忆一下勾股定理的内容是什么?

师:对,勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系,若直角三角形的两直角边长为a,b,斜边长为c,则三边长满足a²+b²=c²。请同学们思考一下,勾股定理的题设、结论分别是什么?

师:大家说得很好,题设是直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边为c,结论为三边长满足a²+b²=c²。如果把勾股定理的题设、结论交换一下位置,命题还成立吗?即如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形吗?本节课我们就一起来学习《勾股定理的逆定理》。

二、结合实例,讲解新知

师:据说古埃及人画直角的方法是把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角。用这样的绳结组成的三角形是直角三角形吗?请同学们画画看,并用量角器检验一下。

师:大家测量出来有一个角是直角,也就是说,如果围成的三角形的三边长分别为3,4,5,那么围成的三角形是直角三角形,这里的3,4,5有什么关系呢?

师:有同学发现了,3²+4²=5²。那再画画看,如果三角形的三边长分别为2.5²cm、6²cm、6.5²cm,并有2.5²+6²=6.5²,画出的三角形是直角三角形吗?换成三边长分别为6cm、8cm、10cm呢?同学们在小组内动手画一画并测量一下是否构成直角。

师:大家根据以上的发现能得出什么猜想?

师:很好,同学们发现如果围成的三角形的三边长满足a²+b²=c²的关系,那么这三边围成的三角形恰好是直角三角形。我们进而会想:是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方,就能得到一个直角三角形呢?我们得出一个猜想的命题:

命题2:如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。

师:猜想的命题2正确吗?你能证明它吗?也就是说,已知△ABC三边长a,b,c满足a²+b²=c²,求证△ABC是直角三角形。

师:要证明△ABC是直角三角形,我们需要知道∠C是直角,那么如何证明∠C是直角呢?

师:我们一起来试试再作一个Rt△A'B'C',使∠C'=90°,且A'C'=AC,B'C'=BC,则满足A'C'²+B'C'²=A'B'²(勾股定理),你们能利用全等三角形的知识验证我们要证明的命题吗?大家在小组内探讨一下。

师:第1小组已经探讨出来了,你们先说一下你们的证明思路吧!

师:第1小组是这样证明的:∵AC²+BC²=AB²(已知),A'C'=AC,B'C'=BC(已作),∴AB²=A'B'²,∴AB=A'B'∴△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=90°,∴△ABC是直角三角形。

师:通过刚才的证明,我们可以得出前面的猜想是正确的,我们把它称为勾股定理的逆定理。即要判断一个三角形是否为直角三角形,只需要知道三边能否满足“两边的平方和等于第三边的平方”,即“较小的两边的平方和等于较长边的平方”,如果满足,则为直角三角形。

师:我们得出的命题2与之前学过的命题1有什么联系呢?

师:学生1说这两个命题的题设和结论正好相反。在数学上,像这样的两个命题我们叫做互逆命题。你们能举出互逆命题的例子吗?

师:很好,大家想一想你所举的例子中,如果原命题成立,逆命题一定成立吗?

师:我们不难发现原命题与逆命题是否成立是相互独立的。

三、练习巩固

师:我们来看一看例题:判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形。(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15。

师:勾股定理的逆定理在已知三角形的三边长时,可以用来判断该三角形是否为直角三角形。下面请同学们以小组为单位合作交流,完成例题。

师:哪位同学来展示一下你们组的答案?

师:很好,那我们一起来验证学生2所在小组的答案。题目(1)中15²+8²=225+64=289=17²,所以这个三角形是直角三角形。题目(2)中13²+14²=169+196=365≠15²,所以这个三角形不是直角三角形。

四、课堂小结

师:谁能来总结一下,已知三角形的三边长,如何判断这个三角形是否为直角三角形?

师:总结得很好,只需要看三角形的三边是否满足“两边的平方和等于第三边的平方”,如果是,则是直角三角形,反之不是。

五、板书设计

勾股定理的逆定理

命题2:如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。(勾股定理的逆定理)

互逆命题  原命题  逆命题

例题:判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形。

(1)a=15,b=8,c=17;

(2)a=13,b=14,c=15。

解:(1)15²+8²=225+64=289=17²,∴这个三角形是直角三角形。

(2)13²+14²=169+196=365≠15²,∴这个三角形不是直角三角形。

我的试讲到此结束,谢谢各位考官的聆听。

答辩答案:

1.勾股定理是初中几何中几个重要定理之一。它揭示了直角三角形三边的某种数量关系。勾股定理是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识的基础之上的,同时也是初三几何中解直角三角形及圆中有关计算的必备知识。更重要的是,纵观整个初中数学,勾股定理架起了代数与几何之间的桥梁。勾股定理在数学理论体系中的地位举足轻重,就学生而言,对勾股定理学习的好坏将直接影响到他们后续数学的学习。

2.第一个问题:引入古埃及人画直角的方法:把一根长绳打上13个绳结,以3,4,5个结间距为边长组成的三角形中就有一个角是直角。让学生测量用这样的绳结组成的三角形是否是直角三角形。

设计意图:通过古代数学问题激发学生的学习兴趣,从而为得出勾股定理的逆定理做铺垫。

第二个问题:让学生动手操作,导入问题,让学生判断三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm或4cm、7.5cm、8.5cm时是否满足a²+b²=c²,能否组成直角三角形,根据以上结论得出猜想。

设计意图:鼓励学生动手探究,提升综合实践能力,进一步根据事实作出猜想,提升合情推理能力。

第三个问题:让学生证明所猜想的命题是否正确。

设计意图:鼓励学生对猜想进行证明,养成良好的反思质疑的学习习惯,进一步提升演绎推理能力。

第四个问题:让学生来总结,已知三角形的三边长,如何判断这个三角形是否为直角三角形。

设计意图:课堂最后通过总结回顾,帮助学生梳理要点,回顾解答过程,让理解更深刻,学习更有效。

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